複雜網絡複雜網絡是一種理解現實世界複雜係統的抽象模型。它將複雜係統中的實體抽象成節點，將實體之間的關係抽象成連線。雖然數學中的圖論也在研究網絡，但是現實中的網絡會有更多的隨機特性。因此，複雜網絡一般更加關注網絡的統計特征。在網絡理論的背景下，複雜網絡是一個具有非平凡拓撲特征的圖(網絡)這些特征不會出現在簡單的網絡中，如格或隨機圖，而是經常出現在代表實際係統的網絡中。複雜網絡的研究是一個年輕而活躍的科學研究領域[1][2][3](自2000年以來)，主要受到計算機網絡、生物網絡、技術網絡、大腦網絡、氣候網絡[4][5][6]和社會網絡等現實世界網絡的經驗性發現的啟發。目錄1 定義2 複雜網絡研究簡史2.1 歐拉與格尼斯堡七橋問題2.2 ER隨機網2.3 小世界網絡2.4 無標度網絡2.5 網絡科學3 表示與分類3.1 鄰接矩陣3.2 鏈表表示3.3 網絡分類3.3.1 有向網3.3.2 加權網3.3.3 流網絡3.3.4 空間網3.3.5 二分網4 統計指標4.1 度4.2 平均路徑長度4.3 直徑4.4 集聚係數4.5 相關性4.6 模塊性4.7 節點中心性5 實證數據6 統計特征6.1 可觀測性6.2 統計特性6.3 信息的統計6.4 無標度6.5 小世界6.6 RichClub係數6.7 社團劃分7 基本模型7.1 BA模型7.2 雙曲幾何模型8 參考文獻9 編輯推薦9.1 集智文章9.2 集智課程9.2.1 複雜網絡20209.2.2 日常生活中的複雜網絡定義大多數社會、生物和技術網絡顯示了大量非平凡的拓撲特征，它們的元素之間的連接模式既不是純規則的也不是純隨機的。這些特征包括程度分布的重尾，高集聚係數，繁體之間的協調性或不協調性，社團結構和等級結構。在有向網絡的情況下，這些特征還包括互惠性、三元顯著性特征和其他特征。相比之下，許多過去研究過的網絡數學模型，例如格和隨機圖，並沒有表現出這些特征。最複雜的結構可以通過具有中等數量相互作用的網絡來實現。[7]即對於中等概率而言，最大信息量(熵)是可獲得的。在網絡理論的研究中，複雜網絡是由數量巨大的節點和節點之間錯綜複雜的關係共同構成的網絡結構。用數學的語言來說，就是一個有著足夠複雜的拓撲結構特征的圖。複雜網絡具有簡單網絡，如晶格網絡、隨機圖等結構所不具備的特性，而這些特性往往出現在真實世界的網絡結構中。複雜網絡的研究是現今科學研究中的一個熱點，與現實中各類高複雜性係統，如互聯網網絡、神經網絡和社會網絡的研究有密切關係。而無標度網絡[8]和小世界網絡[9][10]是複雜網絡研究的熱點，它們的發現和定義是該領域的典型案例。兩者都擁有著各自獨有的結構特征。即無標度網絡的冪律度分布和小世界網絡的短路徑長度和高聚集性。然而，隨著複雜網絡研究的重要性和普及程度的不斷提高，網絡結構的許多其他方麵也引起了人們的關注。近年來，複雜網絡的研究已經擴展到多層網絡。[11]如果這些網絡是相互依存的，它們比單一網絡更容易受到隨機故障和有針對性的攻擊，並出現級聯故障和一級滲透過渡。[12][13]此外，還研究了節點失效和恢複情況下網絡的集體行為。[14]人們已經發現，這樣的網絡可能會出現自發的失敗和自發的恢複。這個領域繼續以快速的步伐發展，並且匯集了來自數學、物理學、電力係統、[15]生物學、[16]氣候學、[17]計算機科學、社會學、流行病學[18]等許多領域的研究人員。[19]來自網絡科學和工程學的思想和工具已經應用於代謝和遺傳調控網絡的分析;生態係統穩定性和穩健性的研究;[20]臨床科學;[21]可擴展通信網絡的建模和設計，[22]如複雜無線網絡的生成和可視化;疫苗接種戰略的發展以控製疾病;[23][24][25]以及廣泛的其他實際問題。[26]同時，網絡理論最近被發現可以用來識別城市交通中的瓶頸。[27]網絡科學是各個領域許多會議的主題，也是眾多外行人和專家著作的主題。複雜網絡研究簡史歐拉與格尼斯堡七橋問題格尼斯堡的七橋是一個曆史上著名的數學問題。1736年歐拉·萊昂哈德的負分辨率奠定了圖論的基礎，預示了拓撲學的概念。普魯士的格尼斯堡（現在是**的加寧格勒）坐落在普瑞格爾河的兩側，包括兩個大島——克內夫和洛姆斯，它們通過7座橋互相連接在一起，且與城市的兩個大陸部分相連。問題是設計出一種穿越城市的方式，每座橋都要經過有且隻有一次。通過明確製定邏輯人物的方式，解決方案包括其中任何一個：1.通過橋梁或其他途徑到達島嶼或大陸彼岸2.不經過另一端而經過橋（但，這是絕對不可能的）歐拉證明了這個問題沒有解決方案。他所麵臨的困難是開發出一種合適的分析技術，以及後麵的測試，這些測試需要用精確的數學方法證明這一論斷。ER隨機網在數學領域的圖論中，ER模型與兩種用來生成隨機圖像的模型密切相關。它們是以兩個於1959年首次介紹其中一個模型的數學家艾迪胥·保羅和瑞尼·阿爾弗萊德命名的，而吉爾伯特·埃德加介紹了另一個，同時也獨立介紹了艾迪胥和瑞尼介紹的模型。在艾迪胥和瑞尼模型中，所有圖形在一個固定的繁體及固定數量的邊緣上是等可能的；在吉爾伯特介紹的模型中，每條邊都有固定的出現或不出現的概率，與其他邊無關。這些模型可用於概率方法，以證明滿足各種性質的圖像的存在，或提供一個它對幾乎所有圖形的屬性的意義的嚴格的定義。小世界網絡通過類比小世界現象（通常稱作六度分離），網絡可以稱為小世界網路[9]。由匈牙利作家卡林西·弗傑什於1929首次提出，米爾格拉姆·斯坦利於1967年通過實驗檢驗小世界的假設，闡述為任意兩個人之間所間隔得人不會超過六個，即相應的社會關係圖的直徑不大於6。瓦特·詹姆斯·鄧肯和斯托加茨·斯蒂芬於1988年發表了第一個小世界網絡通過單個參數在隨機圖像和格子之間的平滑插值體現的模型。該模型證明了隻有一小部分遠程鏈接，正則圖，在網絡的直徑大小成正比。該結論可以轉換成一個“小世界”中任意兩個繁體之間的邊的平均數量是非常小的（精確地說，網絡的尺寸呈對數增長），而聚類係數大。眾所周知，各種各樣的抽象圖像都具有小世界的特性，例如：隨機圖像和無標度網絡。此外，真實世界的網絡，如萬維網和代謝網絡也顯示出這種特性。在有關網絡的科學文獻中，“小世界”一詞有一些含糊不清的地方。除了表示網絡直徑的大小，還可以表示小直徑和聚類係數的同時出現。聚類係數時表示網絡中三角形密度的指標。例如，係數隨機圖的聚類係數可以忽略不計，而現實網絡的聚類係數往往要大得多。科學家指出，這種差異表明，在現實世界的網絡中，邊緣是相關的。無標度網絡無標度網絡是一個符合冪律的度分布網絡，至少是漸近的。也就是說，網絡中有k個節點的節點分式P(k)對於k為較大的值，如[math]\displaystyle{P(k)\simk^{-\gamma}}[/math]，同時，γ參數的值通常是在2到3之間，雖然有時也可能在這些範圍之外。一些報告表明，許多網絡是無標度的，儘管統計分析駁斥了其中許多的說法，並對其他說法提出了嚴重質疑，他們提出了優先依附和適應度模型作為解釋真實網絡中推測的冪律分布的機製。對無標度網絡的興趣始於1990年代後期，當時報告了在現實世界網絡中冪律分布的發現，如萬維網、自治係統網絡、一些互聯網路由器網絡、蛋白質互動網絡、電子郵件網絡等。建立具有冪律分布的網絡有許多不同的方法。聖誕過程是冪定律的典型生成過程，自1925年就為人所知。然而，由於其頻繁的重新發現，它被許多其他的名字所熟知，例如，赫伯特·西蒙的吉布拉特原則，馬太效應，累積優勢，巴拉巴西和阿爾伯特的冪律度分布的優先依戀。近年來，雙曲幾何圖被認為是構造無標度網絡的另外一種方法。一些具有冪律分布的網絡(以及其他特定類型的網絡結構)可以很好地抵抗節點的隨機刪除——也就是說，絕大多數節點保持連接在一個巨大的組件中。這種網絡對於旨在快速破壞網絡的有針對性的攻擊非常敏感。當圖是均勻隨機的，除了度分布，這些臨界繁體是最高度的，因此牽涉到疾病(包括自然與人為)在社會和通信網絡的傳播、時尚的傳播(兩者都是模型滲流或分支過程)。隨機圖(ER)的節點間的順序為logN的平均距離，其中N是節點數，無標度圖可以有loglogN的距離。這樣的圖被稱為超小世界網絡。網絡科學網絡科學是研究電信網絡、計算機網絡、生物網絡、認知語義網絡、社會網絡等複雜網絡的學術領域。該領域考慮節點（或繁體）所代表的不同元素或參與者，以及元素或參與者之間為鏈接（或邊）的連接。該領域采用的理論和方法包括數學的圖論、物理的統計力學、計算機科學的數據挖掘和信息可視化、統計學的推理建模和社會學的社會結構。美國國家研究委員會將網絡科學定義為“研究物理、生物和社會現象的網絡表征，從而得出這些現象的預測模型”。表示與分類鄰接矩陣在圖論和計算機科學中，鄰接矩陣是用於表示有限圖的方陣。矩陣的元素表明圖中繁體對是否相鄰。在有限簡圖的特殊情況下，鄰接矩陣是一個（0，1）對角線邏輯矩陣上為0的矩陣。如果圖是無向的，則鄰接矩陣實對稱的對稱圖像。譜圖理論研究了圖與其鄰接矩陣的特征值和特征向量之間的關係。鄰接矩陣應與圖的關聯矩陣分開，鄰接矩陣是一種不同的矩陣表示，其元素表示繁體——對邊是否有關聯，度矩陣包含了每個繁體（圖論）的度（圖論）的信息。鏈表表示鏈表實際上是線性表的鏈式存儲結構，與數組不同的是，它是用一組任意的存儲單元來存儲線性表中的數據，存儲單元不一定是連續的，且鏈表的長度不是固定的，鏈表數據的這一特點使其可以非常的方便地實現節點的插入和刪除操作鏈表的每個元素稱為一個節點，每個節點都可以存儲在內存中的不同的位置，為了表示每個元素與後繼元素的邏輯關係，以便構成“一個節點鏈著一個節點”的鏈式存儲結構，除了存儲元素本身的信息外，還要存儲其直接後繼信息，因此，每個節點都包含兩個部分，第一部分稱為鏈表的數據區域，用於存儲元素本身的數據信息，它不局限於一個成員數據，也可是多個成員數據，第二部分是一個結構體指針，稱為鏈表的指針域，用於存儲其直接後繼的節點信息。網絡分類有向網任一點對（i，j）和（j，i）對應同一條邊，則為無向網，反之成為有向網。加權網加權網是直接點之間的連結具有分配給它們權值的網絡。網絡是一個元素以某種方式連接在一起的係統（沃瑟曼和浮士德，於1994年）。係統的元素表示為節點（也稱為參與者或繁體），交互元素之間的連接被稱為連結、邊、弧或鏈接。節點可以是神經元、個人、團體、組織、航站樓，甚至是國家，而連結可以是友誼、交流、合作、聯盟、流動或貿易等形式。在許多現實世界的網絡中，並非網絡中的所有連結都具有相同的容量。事實上，連結往往與權數有關，以他們的力度、強度、能力（巴拉特.etal.，於2004年；霍瓦特，於2011年）區分。一方麵，格蘭諾維·馬克（於1973年）認為，社交網絡中社交關係的強度是其持續時間、情感強度、親密度和服務交換的函數。另一方麵，非社會網絡，權重通常指的是執行的函數關係，例如，在食物網中，物種之間的碳流量（毫克/m2/天）（拉士克維施.etal.，於2003年），神經結的數量和縫隙連接神經網絡（沃茨和斯特伽茨，於1998年），或在交通網絡中的流動的流量（奧普薩爾etal.，於2008年）。通過記錄連結強度，可以創建一個加權網絡（也稱價值網絡）。下麵是這樣一個網絡的例子（權重也可以通過賦予變換不同的寬度來可視化）：Weightednetwork.svg.png加權網絡也廣泛應用於基因組和係統生物學應用。（霍瓦特，於2011年）。例如，加權基因共表達網絡分析（WGCNA）常用於構建基於基因表達（如微陣列）數據的基因（或基因產物）之間的加權網絡（張某和霍瓦特，於2005年）。一般而言，加權相關網絡可以用軟閾值法定義變量之間的兩兩相關關係（如基因檢測）。流網絡在圖論中，流網絡（也稱運輸網絡）是一個有向圖，其中每條邊都有一個容量，每條邊接受一個流量。邊緣上的流量不能超過邊緣的流量。通常來說，在運籌學運籌學中，有向圖成為網絡，那些繁體被稱為節點，這些邊稱為弧。流量必須滿足流入節點的流量等於流出節點的流量的限製，除非它是一個隻有流出流或匯聚即隻有流入流的源。一個網絡可以用來模擬道路係統中的交通，需求環流，管道中的流體，電路中的電流，或任何類似的東西通過一個節點網絡時的情況。空間網空間網絡(有時也稱為幾何圖形)是指繁體或邊是與幾何對象相關聯的空間元素的圖像，即節點位於具有一定度量的空間中。最簡單的數學實現是格子或隨機幾何圖形，它們的節點在二維平麵上均勻分布；如果歐幾得距離小於給定的鄰域半徑，則連接一對節點。交通和移動網絡、互聯網、移動電話網絡、電網、社交和聯係網絡以及神經網絡都是底層空間相關的例子，而圖的拓撲本身並不包含所有信息。描述和理解空間網絡的結構、彈性和演化對從城市主義到流行病學的許多不同領域都至關重要。二分網二分網是一類特殊的複雜網絡，其節點被劃分為兩個集合X和Y，隻允許不同集合中兩個節點之間的連接。為了方便直接顯示特定一組節點之間的關係結構，通常采用單模投影的方式壓縮二分網。這意味著接下來的網絡隻包含兩個集合中的任意一個節點，並且隻有當兩個X(或者Y)節點至少有一個公共相鄰的Y(或者X)節點時，它們才會連接。最簡單的方法涉及到雙方的網絡投射到一個未加權的網絡，但不考慮網絡的拓撲結構或共享一個連接的頻率對立的元素集。由於在這種情況下，雙方的網絡很大程度上與不同的結構可以有完全相同的一種模式表示，一個清晰的插圖的原始網絡拓撲通常需要使用一些加權法。[[1]]Bipartitenetworkprojection.png統計指標在統計和研究設計中，指標是一種複合統計——衡量一組具有代表性的單個數據點的變化，或者換句話說，綜合多個指標的複合度量。指標總結和排列特定的觀察。社會科學領域的許多數據都用各種指數表示，如性別差距指數、人類發展指數或道瓊斯工業平均指數。各項指標通常權重相等，除非有一些理由違反(例如，如果兩個項本質上反映了變量的相同方麵，那它們的權重可能為0.5)。構建項目涉及四個步驟。首先，項目的選擇應該基於它們的麵部效度、單維性、測量維度的特異性程度以及它們的方差。項目之間應該有經驗上的聯係，這引向了檢驗它們的多元關係的第二步。第三，設計索引得分，這涉及到確定它們的得分範圍和項目的權重。最後，需要對指標進行驗證，這涉及到是否能夠預測與構建中未使用的測量變量相關的指標。度在圖論中，圖的繁體的度(或值)是指與該繁體關聯的、循環數為2次的邊的數量。一個繁體v是表示程度的度(v)或度訴一個圖G的最大程度，用Δ(G)和最低程度的一個圖表，用δ(G)，最大和最小程度的繁體。在右邊的圖中，最大值是5，最小值是0。在一個普通的圖中，所有的度都是一樣的，所以我們可以說這個是圖的度。UndirectedDegrees(Loop).svg.png平均路徑長度平均路徑長度是拓撲網絡中的一個概念，定義為所有可能的網絡節點對的最短路徑上的平均步數。它是網絡上信息或大眾運輸效率的一種度量。直徑在幾何學中，圓的直徑是任何穿過圓中心、端點在圓上的直線段。它也可以定義為圓的最長弦。這兩個定義對於球體的直徑也是有效的。在現代化的用法中，直徑的長度也被稱為直徑。從這個意義上說，我們談論的是直徑（指距離）而不是直徑(指的是直線本身)，因為一個圓或球體的所有直徑都有相同的長度，這是半徑r的兩倍。d=2r?r=d/2。對於平麵上的凸形，其直徑定義為兩條相切於其邊界的平行線之間可以形成的最大距離，而寬度通常定義為這種距離的最小值。這兩個量都可以用旋轉卡尺有效地計算出來。對於一個等寬的曲線，例如魯洛三角形，其寬度和直徑是相同的，因為所有的平行切線的長度相同。而對於橢圓，標準術語是不同的。橢圓的直徑是任何穿過橢圓中心的弦。例如，共軛直徑有這樣的性質:其中一個端點與橢圓的切線平行於另一個端點。最長的直徑稱為長軸。“直徑”一詞來源於希臘δι?μετρο?(diametros)、“一圈直徑”，從δι?(dia)”，通過“和μ?τρον(密特隆)，“衡量”通常縮寫DIA，dia，d，或?。集聚係數在圖論中，聚類係數是圖中節點聚類的程度的度量。有證據表明，在大多數真實世界的網絡中，特別是在社交網絡中，節點往往以相對高密度的聯係為特征，形成緊密的群體;這種可能性往往大於兩個節點之間隨機建立平局的平均概率(霍蘭德和萊因哈特，於1971年;瓦茨和斯托蓋茨，於1998年)。這種方法有兩種版本:全局和局部。全局版本的設計是為了給出網絡中集群的總體指示，而局部版本則表示單個節點的嵌入性。相關性關聯性是指一個主題與另一個主題之間的聯係，在考慮第一個主題時考慮第二個主題是有作用的。關聯的概念被研究在許多不同的領域，包括認知科學，邏輯，圖圖書館信息科學。然而，最根本的是，它屬於認識學（也稱認識論）的研究範圍。不同的知識理論對被認為相關的東西有不同的含義，這些基本觀點對所有其他領域也都有影響。模塊性從廣義上講，模塊化是指係統的組件可以分離和重組的程度，通常具有靈活性和多樣化的使用優勢。模塊化的概念主要用於通過將係統分解為不同程度的相互依賴和獨立性來降低複雜性，並“將每個部分的複雜性隱藏在抽象和接口之後”。然而，模塊化的概念可以擴展到多個學科，每個學科都有自己的概念上的細微差別。儘管有這些細微的差別，關於模塊化係統的一致主題還是出現了。節點中心性在圖論和網絡分析中，中心性指標確定圖中最重要的繁體。應用程序包括識別社交網絡中最有影響力的人、互聯網或城市網絡中的關鍵基礎設施節點和疾病的超級傳播者。中心性概念最早出現在社會網絡分析中，許多衡量中心性的術語反映了它們的社會學淵源。它們不應該與節點影響度量相混淆，節點影響度量試圖量化網絡中每個節點的影響。6centralitymeasures.png實證數據實證數據，也被稱為感覺經驗，是通過感覺獲得的信息，特別是通過觀察和記錄通過實驗的模式和行為。該詞來自希臘語的經驗，?μπειρ?α(empeiria)。在康德·伊曼努爾之後，哲學中通常把獲得的知識稱為後驗知識(與先驗知識相反)。統計特征可觀測性統計量是一種可觀察的隨機變量，它不同於描述統計總體特性的一般不可觀察量的參數，也不同於不可觀察的隨機變量，例如觀察到的測量值和總體平均值之間的差值。如果整個總體可以觀察到沒有誤差，一個參數隻能精確地計算；例如，在一個完美的人口普查或標準化考試的考生群體中。統計學家經常考慮一個參數化的概率分概率分布布族參數族，其中的任何成員都可能是人口中每個成員的某種可測量方麵的分布，從中隨機抽取一個樣本。例如，這個參數可能是北美25歲男性的平均身高。測量了100個這樣的人的樣本的身高;這100個數字的平均值是一個統計數據。人口中所有成員的平均身高不是一個統計數據，除非這個數據也以某種方式被確定(例如通過測量人口中的每一個成員)。所有25歲北美男性的平均身高是一個參數，而不是一個統計數據。統計特性統計的重要潛在特性包括完整性、一致性、充分性、無偏性、最小均方誤差、低方差、穩健性和計算便利性。信息的統計模型參數的統計信息可以用幾種方法定義。最常見的是費雪信息，它是在由統計量引起的統計模型上定義的。也可以使用庫爾貝克信息度量。無標度一個網絡的度分布被稱為無標度，即一個均勻隨機選擇的節點有一定數量鏈路度的概率，遵循一個被稱為冪律的特殊數學函數。冪律表明，這些網絡的度分布沒有特征尺寸。相比之下，具有單一的、規模定義明確的網絡在某種程度上類似於網格，因為每個節點（大致）都在同一個程度。單一的規模網絡的例子，包括Erd?s-Renyi(ER)隨機圖像和超立方體。產生尺度不變的度分布的網絡模型有巴拉巴西-艾伯特模型和適應度模型。在一個具有無標度度分布的網絡，一些繁體有大於平均梯度的階的等級——這些繁體通常被稱為樞紐，儘管這有點誤導因為它沒有固定的閾值，一個節點可以被視為一個樞紐。如果有這樣的閾值，網絡就不會是無標度。人們對無標度網絡的興趣起始於1990年代末的關於冪律度分布在真實世界的網絡如萬維網、自製係統網絡（ASs)，一些互聯網路由器網絡、蛋白質相互作用網絡、電子郵件網絡等的發現報告。大部分在報告冪律時，在挑戰嚴格的統計測試時，都失敗了，但是，對於重尾度分布的較普遍看法——許多這樣的網絡確實表現出這種分布（在有限尺寸影響發生之前）——與人們所預期的邊緣獨立存在且隨機存在（即假設它們遵循泊鬆分布）。建立一個冪律度分布的網絡有很多種不同的方法。尤爾過程是冪律的典型生成過程，自1925年以來就為人所知。然而，由於其頻繁的再創造，它的許多其他名字被人們所熟知，例如，西蒙·亞曆山大·赫伯特的直布陀羅原則、馬太效應、累積優勢，以及i巴拉巴西和艾伯特的冪律度分布的優先鏈接。近期，雙曲幾何圖形被認為是另一種構建無標度網絡的方法。一些具有冪律度分布的網絡（以及特定的其他類型的結構）可以高度抵抗垂直的隨機刪除——即絕大多數繁體仍然與一個巨大的指數連接在一起。這樣的網絡對旨在快速破壞網絡的攻擊也異常敏感。當圖像是除度分布外均勻隨機的時候，這些關鍵的繁體是最高階的，因此在社會和通信網絡涉及疾病和病毒的傳播（自然和人工），以及時尚的傳播（這兩種都是由滲流或分支流程建模的）。而隨即圖像（ER)節點間的平均距離為o(logN)，其中N為節點數，無標度圖像的距離為loglogN。這種圖像被稱為超小世界網絡。小世界這個小世界實驗由米爾格拉姆·斯坦利和其他研究人員進行的幾個實驗組成，他們研究了美國人社交網絡的平均路徑長度。該研究具有開創性，它表明人類社會是一個以短路徑長度為特征的小世界網絡。這些實驗經常與“六度分離”聯係在一起，儘管米爾格拉姆本人並沒有使用這個術語。RichClub係數Rich-club係數是圖形和網絡的度量標準，旨在衡量連接良好的節點之間相互連接的程度。具有較高Rich-club係數的網絡具有較強的Rich-club效應，且節點間的連接程度較高。這種效應已經在科學協作網絡和航空運輸網絡中得到了測量和注意。蛋白質相互作用網絡明顯缺乏Rich-club係數。社團劃分在社交網絡中，用戶相當於每一個點，用戶之間通過互相的關注關係構成了整個網絡的結構，有的用戶之間的連接較為緊密，有的用戶之間的連接關係較為稀疏，反映在網絡中，連接較為緊密的部分可以被看成一個社團，其內部的節點之間有較為緊密的連接，而在兩個社團間則相對連接較為稀疏。社團劃分就是劃分出上述的社團。基本模型BA模型艾伯特-巴拉巴西（BA）模型是一種使用優先連接機製生成隨機無標度網絡的算法。一些自然的和人為的係統，包括因特網、萬維網、引文網絡和一些社交網絡，被認為是近似無尺度的，並且肯定包含很少的節點(稱為集線器)，與網絡的其他節點相比具有異常高的程度。BA模型試圖解釋真實網絡中存在這樣的節點。該算法以發明者艾伯特·拉斯洛·巴拉巴西和艾伯特·瑞卡的名字命名，它是一種更通用的模型的特例，稱為普利斯模型。雙曲幾何模型有很多不同的偽球麵在很大範圍內都有一個定的負高斯曲率，其中偽球麵是最著名的。但是在其他模型上做雙曲幾何比較容易。[[2]][[3]]雙曲幾何常用的模型有四種：克萊恩模型、龐加萊圓盤模型、龐加萊半平麵模型和洛倫茨或雙曲麵模型。這些模型定義了滿足雙曲幾何公理的雙曲平麵。儘管它們的名字，上麵提到的前三個模型是由貝爾特拉米作為雙曲空間模型引入的，而不是由龐加萊或克萊恩提出的。所有這些模型都可以擴展到更多的維度。參考文獻↑R.AlbertandA.-L.Barabsi(2002).“Statisticalmechanicsofcomplexnetworks“.ReviewsofModernPhysics.74(1):47–49.arXiv:cond-mat/0106096.Bibcode:2002RvMP...74...47A.doi:10.1103/RevModPhys.74.47.↑MarkNewman(2010).Networks:AnIntroduction.OxfordUniversityPress.ISBN978-0-19-920665-0.↑ReuvenCohenandShlomoHavlin(2010).“ComplexNetworks:Structure，RobustnessandFunction“.CambridgeUniversityPress.ISBN978-0-521-84156-6.↑Bassett，DanielleS;Sporns，Olaf(2017-02-23).“Networkneuroscience“.NatureNeuroscience.20(3):353–364.doi:10.1038/nn.4502.ISSN1097-6256.PMC5485642.PMID28230844.↑AlexFornito.“AnIntroductiontoNetworkNeuroscience:Howtobuild，model，andanalyseconnectomes-0800-10:00|OHBM“.pathlms.com(inEnglish).Retrieved2020-03-11.↑SaberiM，KhosrowabadiR，KhatibiA，MisicB，JafariG(January2021).“Topologicalimpactofnegativelinksonthestabilityofresting-statebrainnetwork“.ScientificReports.11(1):2176.Bibcode:2021NatSR..11.2176S.doi:10.1038/s41598-021-81767-7.PMC7838299.↑T.Wilhelm，J.Kim(2008).“Whatisacomplexgraph?“.PhysicaA.387(11):2637–2652.Bibcode:2008PhyA..387.2637K.doi:10.1016/j.physa.2008.01.015.↑A.Barabasi，E.Bonabeau(2003).“Scale-FreeNetworks“.ScientificAmerican.288(5):50–59.Bibcode:2003SciAm.288e..60B.doi:10.1038/scientificamerican0503-60.PMID12701331.↑跳轉至：9.09.1S.H.Strogatz，D.J.Watts(1998).“Collectivedynamicsof'small-world'networks“.Nature.393(6684):440–442.Bibcode:1998Natur.393..440W.doi:10.1038/30918.PMID9623998.↑H.E.Stanley，L.A.N.Amaral，A.Scala，M.Barthelemy(2000).“Classesofsmall-worldnetworks“.PNAS.97(21):11149–52.arXiv:cond-mat/0001458.Bibcode:2000PNAS...9711149A.doi:10.1073/pnas.200327197.PMC17168.PMID11005838.↑Buldyrev，SergeyV.;Parshani，Roni;Paul，Gerald;Stanley，H.Eugene;Havlin，Shlomo(2010).“Catastrophiccascadeoffailuresininterdependentnetworks“.Nature.464(7291):1025–1028.arXiv:0907.1182.Bibcode:2010Natur.464.1025B.doi:10.1038/nature08932.ISSN0028-0836.PMID203939.↑Parshani，Roni;Buldyrev，SergeyV.;Havlin，Shlomo(2010).“InterdependentNetworks:ReducingtheCouplingStrengthLeadaChangefromaFirsttoSecondOrderPercolationTransition“.PhysicalReviewLetters.105(4):048701.arXiv:1004.3989.Bibcode:2010PhRvL.105d8701P.doi:10.1103/PhysRevLett.105.048701.ISSN0031-9007.PMID20867893.↑J.Gao，S.V.Buldyrev，H.E.Stanley，S.Havlin(2012).“Networksformedfrominterdependentnetworks“.NaturePhysics.8(1):40–48.Bibcode:2012NatPh...8...40G.doi:10.1038/nphys2180.↑Majdandzic，Antonio;Podobnik，Boris;Buldyrev，SergeyV.;Kenett，DrorY.;Havlin，Shlomo;EugeneStanley，H.(2013).“Spontaneousrecoveryindynamicalnetworks“.NaturePhysics.10(1):34–38.Bibcode:2014NatPh..10...34M.doi:10.1038/nphys2819.ISSN1745-2473.↑Saleh，Mahmoud;Esa，Yusef;Mohamed，Ahmed(2018-05-29).“ApplicationsofComplexNetworkAnalysisinElectricPowerSystems“.Energies(inEnglish).11(6):1381.doi:10.3390/en11061381.↑A.Bashan，R.P.Bartsch，J.W.Kantelhardt，S.Havlin，P.C.Ivanov(2012).“Networkphysiologyrevealsrelationsbetweennetworktopologyandphysiologicalfunction“.NatureCommunications.3:72.arXiv:1203.0242.Bibcode:2012NatCo...3..702B.doi:10.1038/ncomms1705.PMC3518900.PMID22426223.↑J.Fan，J.Meng，X.Chen，Y.Ashkenazy，S.Havlin(2017).“Networkapproacheclimatescience“.ScienceChinaPhysics，MechanicsandAstronomy.60(1):10531.Bibcode:2017SCPMA..60a0531F.doi:10.1007/s11433-016-0362-2.↑LucasDValdez，LidiaABraunstein，ShlomoHavlin(2020).“Epidemicspreadingonmodularnetworks:Thefeartodeclareapandemic“.PhysicalReviewE.101(3):032309.arXiv:1909.09695.Bibcode:2020PhRvE.101c2309V.doi:10.1103/PhysRevE.101.032309.PMID32289896.↑A.E.Motter，R.Albert(2012).“NetworksinMotion“.PhysicsToday.65(4):43–48.arXiv:1206.2369.Bibcode:2012PhT....65d..43M.doi:10.1063/pt.3.1518.Archivedfromtheoriginalon2012-09-06.↑JohnsonS，Dom??nguez-Garc??aV，DonettiL，Mu?ozMA(2014).“Trophiccoherencedeterminesfood-webstability“.ProcNatlAcadSciUSA.111(50):17923–17928.arXiv:1404.7728.Bibcode:2014PNAS..11117923J.doi:10.1073/pnas.1409077111.PMC4273378.PMID25468963.↑S.G.Hofmann，J.E.Curtiss(2018).“Acomplexnetworkapproachtoclinicalscience“.EuropeanJournalofClinicalInvestigation.48(8):e12986.doi:10.1111/eci.12986.PMID29931701.↑MouhamedAbdulla(2012-09-22).OntheFundamentalsofStochasticSpatialModelingandAnalysisofWirelessNetworksanditsImpacttoChannelLosses.Ph.D.Dissertation，Dept.OfElectricalandComputerEngineering，ConcordiaUniv.，Montral，Qubec，Canada，Sep.2012.(phd).ConcordiaUniversity.pp.(Ch.4developsalgorithmsforcomplexnetworkgenerationandvisualization).↑R.Cohen，S.Havlin，D.Ben-Avraham(2003).“Efficientimmunizationstrategiesforcomputernetworksandpopulations“.Phys.Rev.Lett.91(24):247901.arXiv:cond-mat/0207387.Bibcode:2003PhRvL..91x7901C.doi:10.1103/PhysRevLett.91.247901.↑Chen，Y;Paul，G;Havlin，S;Liljeros，F;Stanley，H.E(2008).“FindingaBetterImmunizationStrategy“.Phys.Rev.Lett.101(5):058701.Bibcode:2008PhRvL.101e8701C.doi:10.1103/PhysRevLett.101.058701.PMID18764435.↑YangyangLiu，HillelSanhedrai，GaoGaoDong，LouisMShekhtman，FanWang，SergeyVBuldyrev，ShlomoHavlin(2021).“Efficientnetworkimmunizationunderlimitedknowledge“.NationalScienceReview.8(1).arXiv:2004.00825.doi:10.1093/nsr/nwaa229.↑JingfangFan，JunMeng，JosefLudescher，XiaosongChen，YosefAshkenazy，JrgenKurths，ShlomoHavlin，HansJoachimSchellnhuber(2021).“StatisticalphysicsapproachethecomplexEarthsystem“.PhysicsReports.896:1–84.arXiv:2009.04918.Bibcode:2021PhR...896....1F.doi:10.1016/j.physrep.2020.09.005.PMC7532523.↑Li，Daqing;Fu，Bowen;Wang，Yunpeng;Lu，Guangquan;Berezin，Yehiel;Stanley，H.Eugene;Havlin，Shlomo(2015).“Percolationtransitionindynamicaltrafficnetworkwithevolvingcriticalbottlenecks“.ProceedingsoftheNationalAcademyofSciences.112(3):669–672.Bibcode:2015PNAS..112..669L.doi:10.1073/pnas.1419185112.ISSN0027-8424.PMC4311803.NaturePhycics：複雜網絡中高階相互作用的物理學PNAS前沿：複雜網絡視角下的金融市場高頻交易PNAS前沿：幾何分叉增長模型再現複雜網絡演化過程Science經典：複雜網絡的簡單構造模塊——網絡模體複雜網絡簡介複雜網絡的基本模型複雜網絡的統計性質複雜網絡中的社團結構加權網絡複雜網絡的機製和演化模型網絡上的動力學二分網絡日常生活中的複雜網絡人生而自由，卻無往不在網絡之中。從現實的社會關係網到虛擬的互聯網，從線下到線上，我們人類的生活始終沒有脫離網絡。即使是偶然脫離文明的魯賓遜，也要試圖在一個人的世界建立新的網絡。我們有幸生活一個萬物皆可互聯的時代，每一件電子產品甚至每一個人都是這張網絡的節點。人類自詡是世間萬物的主宰，但卻也不得不受我們建立的各種網絡的支配。那，我們究竟生活在一個什樣的網絡之中呢？